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24 GR 1.2 Allgemeine Mathematik 1.2 Allgemeine Mathematik GR 25
Statistische Auswertung (nach DIN 53 804-1: 2002-04) Statistische Auswertung (Fortsetzung)
Aufbereitung statistischen Materials Statistische Kennwerte (statistische Maßzahlen):
Zusammenstellung der (z. B. in
einer Messreihe aufgenommenen) Urliste von n = 40 notierten Temperaturen (in °C) während des Arithmetischer Mittelwert x i Beobachtungswert (Messwert bzw.
Beob ach tungswerte x i (also der n Verlaufes einer chemischen Reaktion: n Stichprobenwert) i, mit i = 1, 2, 3, . . .
1
x 1 + x 2 + x 3 + … + x n
Urwerte x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ) in einer x = �� Í x i bzw. x = ��� x Arithmetischer Mittelwert
n
Urliste. 86,8 87,6 86,1 86,6 86,9 86,8 87,3 86,4 n i =1 (arithmetisches Mittel)
86,4 87,2 86,4 86,4 86,8 86,7 87,2 86,2
Klassenbildung 86,3 86,7 86,8 86,3 86,4 86,9 87,0 86,0 Varianz |x | Betrag des arithmetischen Mittelwertes
Die Anzahl der Klassen (k) richtet 87,4 86,3 86,9 86,4 86,6 87,2 86,9 86,0 n Anzahl der Beobachtungswerte
87,8 85,9 86,7 86,7 86,7 87,4 86,8 86,2
sich nach der Aufgabenstellung 1 n s 2 Varianz
oder nach der Faustformel: Klassenzahl k ≈ 1 + 3,32 · lg 40 ≈ 6,3 ≈ 6 s 2 = �� · Í (x i – x ) 2
n –1 i =1
Spannweite R n = 87,8 – 85,9 = 1,9 s Standardabweichung
k ≈ yn oder k ≈ 1 + 3,32 · lg n Gewählt: k = 5 (& Klassen gleicher Klassenweite) v Variationskoeffizient
(x 1 – x ) 2 + (x 2 – x ) 2 + … + (x n – x ) 2
Empfehlung nach DIN: Klassenweite w = 1,9/5 ≈ 0,4 s 2 = �����
n – 1
n bis ca. ca. ca. Nr. Klasse Strich- Abso- Klassen- j auf- Häufig-
n
100 1000 10000 100000 der in °C liste lute mitte x sum- keits-
j
k mind. mind. mind. mind. Klasse Häufig- in °C miert summe Standardabweichung Variationskoeffizient
= G
10 13 16 20 j keit j F j in % s
(x 1 – x ) 2 + (x 2 – x ) 2 + … + (x n – x ) 2
n s = | ys 2 | s = a����� v = ��
j
n – 1 | x |
Die Klassenweite w ergibt sich 1 85,9 bis 86,2 IIII I 6 86,05 6 15
aus der 2 86,3 bis 86,6 IIII IIII I 11 86,45 17 42,5
Spannweite R n = x max – x min 3 86,7 bis 87,0 IIII IIII IIII 15 86,85 32 80 (Werte aus der Tabelle auf Seite 37)
(86,8 – 86,7) 2 + (86,4 – 86,7) 2 + … + (86,2 – 86,7) 2
und der Klassenzahl k nach der 4 87,1 bis 87,4 IIII I 6 87,25 38 95 86,8 + 86,4 + 86,3 + … + 86,2 = 86,7 s 2 = ������ = 0,2
5 87,5 bis 87,8 II 2 87,65 40 100 x = ����� 40 – 1
40
Formel w = R n /k 0,45
s = | ys 2 | = 0,45 v = �� = 0,005 bzw. v = 0,5 %
86,7
x o + x u
Klassenmitten x i = x o Obere Klassengrenze
x u Untere Klassengrenze
2

Summe der
G j
relativen F j = · 100 % Trendbestimmung:
n
Häufigkeiten Treten bei zeitbezogenen Beobachtungswerten
starke Schwankungen auf, so zeigt der Polygon- Durchschnittliche Aufheizzeiten eines Kessels:
zug einen sprunghaften Verlauf, der Trends und
Grafische Darstellung statistischen Materials Trendwenden verschleiern kann. Die Methode Monat t A in min Monat t A in min Monat t A in min
a) Histogramm (Rechteck- oder des gleitenden Mittelwertes lässt diese wieder 1 24 4 23 7 24
Säulendiagramm) (Fortsetzung) erkennbar werden. Dabei werden benachbarte 2 26 5 28 8 30
Abszisse: Merkmalswert a) 15 b) 15 Beobachtungswerte gemittelt und dann als Ordi- 3 20 6 21 9 26
natenwerte über der Zeit aufgetragen.
(hier x j in °C)
n j 10 n j 10 24 + 26 24+26+20
Ordinate: Besetzungszahl Sind die Beobachtungswerte x 1 , x 2 , x 3 , ...., t 1 = �� = 25 t 2 = �� = 23,3
(Säulenbreite ≠ Klassenweite) x n – 2 , x n – 1 , x n so gilt: 2 3
26+20+23
b) Polygonzug (Streckenzug) 5 5 P (86,05; 6) x 1 + x 2 t 3 = �� = 23 analog: t 4 = 23,7 t 5 = 24
Zum Vergleich mehrerer Vertei- 1. Ordinatenwert: x 1 = �� 3
2
lungen in einem Diagramm 0 0 t 6 = 24,3 t 7 = 25 t 8 = 26,7 t 9 = 28
besser ge eignet als das Histo- 86,05 86,45 86,85 °C 87,65 86,05 86,45 86,85 °C 87,65 2. Ordinatenwert: x 2 = ��
x 1 + x 2 + x 3
gramm. x j x j 3 30 30
100 3. Ordinatenwert: x 2 + x 3 + x 4 min min
Grafische Darstellung der x 3 = �� 28 28
3
Häufigkeitssummenverteilung 26 26
(Summenlinie) t A t A
Abszisse: F j in % 50 Nach obiger Tabelle lie- 24 24
Merkmalswert (hier « in °C) gen 15% der Werte x j im (n –1). Ordinatenwert: x n –1 = �� 22 22
x n –2 + x n –1 + x n
Be reich bis 86,2 °C, des-
Ordinate: halb wird die Häufigkeits- 3 20 20
Häufigkeitssumme F j in % P (86,2; 15)
0 summe „15%“ gegen den n. Ordinatenwert: x n = �� 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x n –1 + x n
85,8 86,2 86,6 87 87,4 87,8 Merkmalswert „86,2 °C“ 2

c in °C auf ge tragen. Monate Monate
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