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3 Lineare und Betragsungleichungen Vollziehe nach Probiere selbst Trainiere weiter Teste dich Weitere Ungleichungen 4
A 12 Stelle die Lösungsmenge der Ungleichungskette −5 x + 1≤3 − 6 x<9 auf der Zahlengeraden dar. In Diskussionen hört man oft das Argument, man könne
nicht Äpfel mit Birnen vergleichen. Tatsächlich ist es in
vielen Situationen angebracht, nur Gleiches mit Glei-
chem zu vergleichen, um falsche Schlüsse zu vermei-
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
den. Eine der wertvollsten Methoden der Mathematik
ist es aber, Zusammenhänge zwischen ungleichen
A 13 Gegeben ist die Ungleichung −2 x>2 mit x ∈ ℝ. Dingen zu entdecken, so wie wir in diesem Kapitel den
Ergänze die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine Lösungsbereich einer quadratischen Ungleichung mit
korrekte Aussage entsteht. quadratischen Funktionen in Beziehung setzen werden.
1
2
Division der Ungleichung durch die Zahl −2 ergibt , da .
1 2
Grundlagen
sich bei Division durch eine negative Zahl das
x>−1
Vergleichszeichen umkehrt
G 1 Eine Bruchungleichung enthält mindestens einen Bruch mit einer Variablen im Nenner.
Umformungen von Ungleichungen den gleichen
x≤−1
Regeln folgen, wie sie bei Gleichungen gelten
G 2 Eine quadratische Ungleichung ist eine Ungleichung der
bei Division durch eine negative Zahl das Ergebnis f(x)
x<−1 allgemeinen Form a · x + b · x + c ⋚ 0. 3 x 2 −4x + 3
2
ebenfalls negativ sein muss
Interpretiert man die linke Seite als Term einer quadrati- 2
2
schen Funktion f (x) = a · x + b · x + c, so schreibt sich die
obige Ungleichung in der Form f (x) ⋚0. Die Lösungsmenge 1
A 14 Die Lösungsmenge der Ungleichung |x|≤2 lautet L={0, 1, 2}. Gib an, für welche der möglichen Grund- kann daher am Graphen von f abgelesen werden: Je nach x 2 −4x + 3 < 0
mengen ℕ, ℤ, ℚ oder ℝ diese Aussage wahr ist. x 2 −4x + 3 > 0 x 2 −4x + 3 > 0 x
Angabe sucht man jene x-Werte, für die der Graph unter- −1 0 1 2 3 4 5
G = bzw. oberhalb der x-Achse liegt. Achtung: Es muss dafür auf −1
der rechten Seite der Ungleichung 0 stehen.
A 15 In einer Zeitung liest man: „Die Arbeitslosenquote R war in den letzten zwei Jahren niemals größer als 7 %,
jedoch stets oberhalb der 5 %-Marke.“ Stelle diese Aussage als Ungleichungskette dar.
G 3 Die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung in zwei
Variablen kann geometrisch als Halbebene im ebenen y < −2x + 1 3 y
Koordinatensystem dargestellt werden. 2
A 16 Eine Firma produziert Nägel mit einer Solllänge von 10 cm. Es werden Abweichungen von bis zu 0,1 cm Die Grenze bildet eine Gerade, die für < und > strichliert und 1 d = 1
toleriert. Gib den Bereich für die zulässige Länge L der Nägel in cm als Ungleichungskette und als Intervall für ≤ und ≥ durchgezogen gezeichnet wird. x
1
an. Um diese Gerade zu bestimmen und zu zeichnen, werden −4 −3 −2 −1 0 Δx = 1 2 3 4
−1
Toleranzbereich als Ungleichungskette: die Werte k= ___ Δ y Δ x und d = y (0) benötigt. (Im Kapitel „Lineare −2 Δy=−2
Funktionen“ im MatheTutor 5. Klasse AHS wird das detailliert
Toleranzbereich als Intervall: erklärt.) −3 k = −2
A 17 Kreuze die Ungleichungssysteme an, die für x ∈ ℝ eine leere Lösungsmenge haben.
−3<x <3 Werkzeuge
−3>x und x >3 W1 In der rechnerischen Lösung von Bruchungleichungen wird mit dem Nenner multipliziert, wodurch zwei
x <−3 oder x >3 Fälle entstehen. 1. Fall: Nenner >0, das Vergleichszeichen bleibt unverändert. 2. Fall: Nenner <0, das Ver-
gleichszeichen muss umgekehrt werden, da mit einer negativen Zahl multipliziert wird.
|x| <−3 x − 2 1. Fall: x + 1>0 und nach Multiplikation x − 2≤3 (x + 1)
Beispiel ____ ≤3
2. Fall: x + 1<0 und nach Multiplikation x − 2≥3 (x + 1)
x + 1
|x| >3
W2 Quadratische Gleichungen werden mit den aus der 5. Klasse bekannten Lösungsformeln gelöst.
________
p
p 2
2
A 18 Gegeben ist die Ungleichung |x + 5|≤2. Kleine Form: x + p · x + q =0 Lösungen: x 1/2 =− __ 2 ± ( __ 2 ) − q
√ ____________
−b ± √ b 2 − 4∙a ∙c
a ) Stelle die Ungleichung ohne Betrag, d. h. als System zweier Ungleichungen dar. Große Form: a · x + b · x + c =0 Lösungen: x 1/2 = _______________
2
b ) Besitzt diese Ungleichung natürliche Zahlen als Lösung? Gib eine Begründung für deine Antwort an, 2∙a
ohne die Ungleichung zu lösen.
c ) Die Ungleichung soll für x ∈ ℝ gelöst werden. Gib die Lösungsmenge in Intervallschreibweise an. W3 Es seien x 1 und x 2 die beiden Lösungen der zu einer quadratischen Ungleichung gehörigen Gleichung.
2
d) Stelle die Lösungsmenge auf der abgebildeten Zahlengeraden dar. Wenn der Koeffizient von x positiv ist, gilt Folgendes für die Lösungsmenge:
2
a · x + b · x + c 0 mit a>0 ergibt das Intervall L = ( x 1 x 2 ) bzw. L = [ x 1 ; x 2 ].
;
2
a · x + b · x + c 0 mit a>0 ergibt die Vereinigung zweier Intervalle: L=(− ∞; x 1 ) ∪ ( x 2 ∞)
;
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 bzw. L=(− ∞;x 1 ]∪ [ x 2 ;∞).
24 Lösungen Grundkompetenzen: AG-R 2.4 25
MatheTutorAHS6_Buch.indb 24 16.09.2020 14:29:30 MatheTutorAHS6_Buch.indb 25 16.09.2020 14:29:32
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